Toshiki's Note

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Formulas for IPhO 日本語版: Section 1 ​

Author:Anda Toshiki
Updated:a day ago
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1: 数学 ​

1.1: Taylor 展開 ​

  1. Taylor 展開（アバウトに切り捨てる:

    F(x)=F(x0)+∑F(n)(x0)(x−x0)n/nF(x)=F\left(x_{0}\right)+\sum F^{(n)}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{n} / n

    線形近似（特別な場合）:

    F(x)≈F(x0)+F′(x0)(x−x0)F(x) \approx F\left(x_{0}\right)+F^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)

    ∣x∣≪1|x| \ll 1 のときの例 ::

    sin⁡x≈x,cos⁡x≈1−x2/2,ex≈1+x\sin x \approx x, \cos x \approx 1-x^{2} / 2, e^{x} \approx 1+x

    ln⁡(1+x)≈x,(1+x)n≈1+nx\ln (1+x) \approx x,(1+x)^{n} \approx 1+n x

1.2: 摂動法 ​

  1. 摂動法：摂動のない（直接解ける）問題の解を 00 番目の近似値として求め，前の似値に基づく次の近似値の補正を繰り返して解を求める．

1.3: 定数係数線形微分方程式 ​

  1. 定数係数線形微分方程式 ay′′+by′+cy=0a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0 の解:

    y=Aexp⁡(λ1x)+Bexp⁡(λ2x). y=A \exp \left(\lambda_1 x\right)+B \exp \left(\lambda_2 x\right) \text {. }

    ここで λ1,2\lambda_{1,2} は特性方程式 aλ2+bλ+c=0a \lambda^2+b \lambda+c=0 の異な る 2 解. もし a,b,ca, b, c が実数で特性方程式の解が複素数 λ1,2=γ±iω\lambda_{1,2}=\gamma \pm i \omega ならば,

    y=Ceγxsin⁡(ωx+φ0)y=C e^{\gamma x} \sin \left(\omega x+\varphi_0\right)

1.4: 複素数 ​

  1. 複素数

    z=a+bi=∣z∣eiφ,zˉ=a−bi=∣z∣e−iφ∣z∣2=zzˉ=a2+b2,φ=arg⁡z=arcsin⁡b∣z∣Re⁡z=(z+zˉ)/2,Im⁡z=(z−zˉ)/2i∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣,arg⁡z1z2=arg⁡z1+arg⁡z2eiφ=cos⁡φ+isin⁡φcos⁡φ=eiφ+e−iφ2,sin⁡φ=eiφ−e−iφ2i\begin{gathered} z=a+b i=|z| e^{i \varphi}, \bar{z}=a-b i=|z| e^{-i \varphi} \\ |z|^2=z \bar{z}=a^2+b^2, \varphi=\arg z=\arcsin \frac{b}{|z|} \\ \operatorname{Re} z=(z+\bar{z}) / 2, \operatorname{Im} z=(z-\bar{z}) / 2 i \\ \left|z_1 z_2\right|=\left|z_1\right|\left|z_2\right|, \arg z_1 z_2=\arg z_1+\arg z_2 \\ e^{i \varphi}=\cos \varphi+i \sin \varphi \\ \cos \varphi=\frac{e^{i \varphi}+e^{-i \varphi}}{2}, \sin \varphi=\frac{e^{i \varphi}-e^{-i \varphi}}{2 i} \end{gathered}

1.5: ベクトルの内積と外積 ​

  1. ベクトルの内積と外積は分配法則が成立する : a(b+c)=ab+aca(b+c)=a b+a c

    a⋅b=b⋅a=axbx+ayby+⋯=abcos⁡φ∣a×b∣=absin⁡φ,a×b=−b×a⊥a,ba×b=(aybz−azby)ex+(azbx−axbz)ey+⋯a×[b×c]=(a⋅c)b−(a⋅b)c\begin{gathered} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a}=a_x b_x+a_y b_y+\cdots=a b \cos \varphi \\ |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|=a b \sin \varphi, \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=-\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \\ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\left(a_y b_z-a_z b_y\right) \boldsymbol{e}_x+\left(a_z b_x-a_x b_z\right) \boldsymbol{e}_y+\cdots \\ \boldsymbol{a} \times[\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}]=(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c} \end{gathered}

    スカラー三重積（3 つのベクトルで張られる平行四面 体の体積）:

    (a,b,c)≡a⋅[b×c]=[a×b]⋅c=(b,c,a)(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}) \equiv \boldsymbol{a} \cdot[\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}]=[\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}] \cdot \boldsymbol{c}=(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}, \boldsymbol{a})

1.6: 余弦定理と正弦定理 ​

  1. 余弦定理と正弦定理：

    c2=a2+b2−2abcos⁡Ca/sin⁡A=b/sin⁡B=2R\begin{aligned} & c^2=a^2+b^2-2 a b \cos C \\ & a / \sin A=b / \sin B=2 R \end{aligned}

1.7: 三角法 ​

  1. sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡βcos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡βtan⁡(α±β)=(tan⁡α±tan⁡β)/(1∓tan⁡αtan⁡β)cos⁡2α=1+cos⁡2α2,sin⁡2α=1−cos⁡2α2cos⁡αcos⁡β=cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)2,…cos⁡α+cos⁡β=2(cos⁡α+β2+cos⁡α−β2),…\begin{aligned} & \sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\ & \cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\ & \tan (\alpha \pm \beta)=(\tan \alpha \pm \tan \beta) /(1 \mp \tan \alpha \tan \beta) \\ & \cos ^2 \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2}, \sin ^2 \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2} \\ & \cos \alpha \cos \beta=\frac{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)}{2}, \ldots \\ & \cos \alpha+\cos \beta=2\left(\cos \frac{\alpha+\beta}{2}+\cos \frac{\alpha-\beta}{2}\right), \ldots \end{aligned}

1.8: 円周角 ​

  1. 円周角は中心角の半分. よって，直角三角形の斜辺は その外接円の直径. もし四角形の対角の和が 180 度な らば，それは円に内接する.

1.9: 三角形の面樍 ​

  1. 三角形の面樍 =12aha=pr=p(p−a)(p−b)(p−c)=abc/4R=\frac{1}{2} a h_a=p r=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=a b c / 4 R

1.10: 重心 ​

  1. 三角形の重心は，中線の交点で，中線を 2:1 に内分する.\

1.11: ベクトルアプローチ ​

  1. 幾何の問題へのベクトルアプローチ.

1.12: 微分 ​

  1. 微分:

    (fg)′=f′g+fg′,f[g(x)]′=f′[g(x)]g′(x)(sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x(ex)′=ex,(ln⁡x)′=1/x,(xn)′=nxn−1(arctan⁡x)′=1/(1+x2)(arcsin⁡x)′=−(arccos⁡x)′=1/1−x2\begin{gathered} (f g)^{\prime}=f^{\prime} g+f g^{\prime}, f[g(x)]^{\prime}=f^{\prime}[g(x)] g^{\prime}(x) \\ (\sin x)^{\prime}=\cos x,(\cos x)^{\prime}=-\sin x \\ \left(e^x\right)^{\prime}=e^x,(\ln x)^{\prime}=1 / x,\left(x^n\right)^{\prime}=n x^{n-1} \\ (\arctan x)^{\prime}=1 /\left(1+x^2\right) \\ (\arcsin x)^{\prime}=-(\arccos x)^{\prime}=1 / \sqrt{1-x^2} \end{gathered}

1.13: 積分 ​

  1. 積分：微分の公式の左辺と右辺を入れ替えたものと同 じ（逆演算）.例えば,

    ∫xn dx=xn+1/(n+1).\int x^n \mathrm{~d} x=x^{n+1} /(n+1) .

    置換積分の特別な場合 :

    ∫f(ax+b)dx=F(ax+b)/a.\int f(a x+b) \mathrm{d} x=F(a x+b) / a .

1.14: 円錐曲線 ​

  1. 円錐曲線: a11x2+2a12xy+a22y2+a1x+a2y+a0=a_{11} x^2+2 a_{12} x y+a_{22} y^2+a_1 x+a_2 y+a_0= 0 で, a11=a22a_{11}=a_{22} ならば円, a11(a11a22−a122)>0a_{11}\left(a_{11} a_{22}-a_{12}^2\right)>0 ならば楕円, ⋯<0\cdots<0 ならば双曲線, a11a22−a122=0a_{11} a_{22}-a_{12}^2=0 ならば放物線. 楕円 : l1+l2=2a,α1=α2l_1+l_2=2 a, \alpha_1=\alpha_2 [訳 者注 : 焦点と曲線上の点を結ぶ直線と接線とのなす角 ], A=πabA=\pi a b. 双曲線 : l1−l2=2a,α1+α2=0l_1-l_2=2 a, \alpha_1+\alpha_2=0. 放物線 :l+h=: l+h= const., α1=α2\alpha_1=\alpha_2.

1.15: 数值計算 & 台形規則 ​

  1. 数值計算. f(x)=0f(x)=0 の解を求めるニュートン法 :

    xn+1=xn−f(xn)/f′(xn)x_{n+1}=x_n-f\left(x_n\right) / f^{\prime}\left(x_n\right)

    近似積分の台形規則：

    ∫abf(x)dx≈b−a2n[f(x0)+2{f(x1)+⋯ +f(xn−1)}+f(xn)]\begin{array}{r} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \approx \frac{b-a}{2 n}\left[f\left(x_0\right)+2\left\{f\left(x_1\right)+\cdots\right.\right. \left.\left.+f\left(x_{n-1}\right)\right\}+f\left(x_n\right)\right] \end{array}

1.16: ベクトルの微分 & 積分 ​

  1. ベクトルの微分と積分：成分ごとに微分/積分する．あるいは無限に近い22つのベクトルの差を求めることで 微分す.